Образующая конуса. длина образующей конуса

Объем наклонного конуса

Так как формула объема конуса одинакова для всех видов тела вращения, отличие в его расчете составляет поиск высоты.

Для того чтобы узнать высоту наклонного конуса, вводные данные должны включать длину образующей, радиус основания и расстояние между центром основания и местом пересечения высоты тела с плоскостью его основания. Зная это, можно с легкостью рассчитать ту часть диаметра основания, которая будет являться основанием прямоугольного треугольника (образованного высотой, образующей и плоскостью основания). После чего, снова используя теорему Пифагора, произвести расчет высоты конуса, а впоследствии и его объема.

Как сделать конус из картона

Вы узнали, как сделать конус из простой бумаги А4, но, если вам нужна плотная поделка, лучше воспользоваться картоном. Материалы и инструменты остаются теми же, что и в предыдущих поделках. Различие заключается только в оттенке картона, его подбираем исходя из предназначения.

Будущий конус будет достаточно прочным за счет чего, его применение может быть широким. Подобную методику работы мы уже рассмотрели выше, но это изготовление все же отличается.

Начнем:

1. Возьмите картон нужного оттенка. Определите середину листа и используя циркуль начертите круг.
2. Полученную окружность нужно разделить на четыре равные доли. Для разделения фигуры на правильные части проведите через полученную ранее точку в центре прямые линии.
3. Складываем круг в разных направлениях. Вы получите четыре сегмента. Один из них нужно вырезать.
4. Полученную заготовку сворачиваем образуя колпак. Так как картон может не сразу склеиться, закрепляем низ фигуры степлером. И только затем промазываем фигуру ПВА.

Плотный конус готов. Если вам нужна не одна геометрическая фигура, а несколько, первый полученный круг, в котором уже вырезана одна четверть, можно использовать в качестве шаблона.

Как сделать конус из треугольника

Способ изготовления конуса из круга прост, но используется лишняя бумага, что дает существенное уплотнение части готового изделия, а это не всегда хорошо. Но можно создать конус из треугольника. Инструменты понадобятся точно такие же, как и в предыдущем варианте. Делаем следующие шаги:

1. С помощью линейки на уложенном горизонтально листе бумаги вычерчиваем равнобедренный треугольник. При этом две его стороны должны иметь одинаковые размеры, а третья сторона параметрами должна превосходить. Стоит иметь в виду, что чем больше стороны треугольника, тем больше конус у вас получится. Главное, чтобы все размеры геометрической фигуры были правильными. Неточные параметры могут привести к однобокому конусу либо настолько миниатюрному, что склеить его не представится возможным. В случае, если у вас нет уверенности в том, что вы в состоянии сами построить нужную фигуру, стоит прибегнуть к помощи линейки в виде равнобедренного треугольника. Но нужно проверить, что у него две стороны одинаковые, а третья больше предыдущих.
2. Берется один уголок и сворачивается по направлению к центру так, чтобы этот край совпал с центом треугольника. При помощи второй руки заворачивается второй угол вокруг первого. Результат: треугольник превратился в конус. Если возникли сложности с заворачиванием уголков, то это означает, что сделанный вами треугольник недостаточно широк.
3. Конус необходимо выровнять. Это достигается путем небольшого сдвигания бумаги или же более тугим заворачиванием углов. Если получился перекос и конус выглядит неестественно, то стоит попробовать еще раз завернуть углы. Если снизу конуса выглядывает лишняя бумага, то это означает, что сделанный вами треугольник был с дефектами. Можно лишние края аккуратно подровнять ножницами.
4. Лишние кусочки бумаги заворачиваются внутрь конуса, чтобы не было видно неровностей. Причем складка конуса должна быть идеально ровной, иначе изделие будет выглядеть неряшливо.
5. Лучше всего линию стыка заклеить при помощи скотча. Это стоит делать с внутренней стороны. Скотч прикладывается по линии стыка и тщательно разглаживается. Это придаст прочности готовому изделию. Скотч также можно наклеить и по ободку конуса как с внешней, так и с внутренней стороны.

О какой фигуре будет идти речь?

Круглый конус – это фигура, которую можно получить следующим образом. Необходимо взять треугольник с углом прямым и его вокруг одного из катетов вращать. Тогда получится показанная ниже объемная фигура.

Отрезок AC на рисунке называется радиусом основания, который “рисует” при вращении с центром в точке A круг. Катет AB – это высота конуса. Очевидно, что отрезок AB перпендикулярен основанию и является частью оси вращения фигуры. Точка B – это высота рассматриваемой фигуры. Отрезок BE называется образующей, или генератрисой конуса. Совокупность всех генератрис образует боковую поверхность конуса. Она является конической. Ограничивающая основание окружность называется направляющей, или директрисой конуса.

Поскольку генератриса, радиус и высота являются гипотенузой и катетами рассмотренного прямоугольного треугольника, то для них можно записать формулу:

g2 = r2 + h2

Здесь g – генератриса, r – радиус, h – высота.

Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и направляющую

Пусть дан конус с радиусом R
и образующей L
AS=L, AO=R

Разрежем конус по образующей L
и развернем его боковую поверхность.
В результате получим криволинейный треугольник ASA`
, где AS=L, A`S=L.

Дуга AA`
-это вытянутая окружность основания конуса с радиусом R
. Следовательно, длина дуги AA`
будет равна 2πR
Площадь боковой поверхности будет равна площади сектора круга с радиусом R
.
Если угол α — радиальная мера угла, то:
где α=∠{ASA`}
Чтобы найти угол ∠{ASA`} воспользуемся формулой длины дуги, которая стягивает данный угол:
Но с другой стороны:
Приравняем правые части равенств. Имеем:
Выразим α:
Подставим полученное выражение в формулу площади сектора:
Следовательно, боковая поверхность конуса равна произведению числа π на радиус конуса и его образующую.
Формула боковой поверхности конуса будет иметь следующий вид:

Наклонные призмы, цилиндры и конусы. Мы видели, что объем правой прямоугольной призмы — это площадь основания, умноженная на высоту. Что произойдет, если основание призмы не находится непосредственно под вершиной? Первый принцип Кавальери гласит, что если сечения двух твердых тел, взятые на том же расстоянии над основанием, имеют одинаковую площадь, то твердые тела имеют одинаковый объем.

Мы не будем приводить доказательства принципа Кавальери здесь. Чтобы представить строгое доказательство, нужны идеи интеграции и резки. Это позволяет нам сказать, что объем любой прямоугольной призмы, прямой или наклонной, определяется площадью основания, умноженной на высоту.

Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и направляющая
Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 3 см, образованным направляющей равной 7 см
По условию задачи L
= 5см, R
=3см
Формула боковой поверхности конуса:
Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:

То же самое относится к наклонным цилиндрам и конусам. Найдите объем цилиндра, показанный на диаграмме. Мы выведем формулу площади поверхности из формулы объема. Самый простой и естественный современный вывод для формулы объема сферы использует исчисление и будет выполнен по старшей математике. Вывод с использованием умного применения принципа Кавальери обсуждается в разделе этого модуля.

Объем радиуса сферы задается формулой. Найдите радиус сферы, верный с точностью до ближайшего миллиметра. Радиус составляет около 87 мм. Исчисление необходимо для получения формулы для площади поверхности сферы строго. Вот интересная формула, которая использует идею аппроксимации сферы пирамидами с общей вершиной в центре сферы.

Сечение конуса

Осевым сечением конуса называется плоскость, проходящая по его оси либо высоте. В прямом конусе такое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором высотой треугольника является высота тела, его сторонами выступают образующие, а основание – это диаметр основания. В равностороннем геометрическом теле осевое сечение является равносторонним треугольником, так как в этом конусе диаметр основания и образующие равны.

Плоскость осевого сечения в прямом конусе является плоскостью его симметрии. Причиной этому служит то, что его вершина находится над центром его основания, то есть плоскость осевого сечения делит конус на две одинаковые части.

Так как в наклонном объемном теле высота и ось не совпадают, плоскость осевого сечения может не включать в себя высоту. Если осевых сечений в таком конусе можно построить множество, так как для этого необходимо соблюдать лишь одно условие — оно должно проходить только через ось, то осевое сечение плоскости, которому будет принадлежать высота этого конуса, можно провести лишь одно, потому что количество условий увеличивается, а, как известно, две прямые (вместе) могут принадлежать только одной плоскости.

Площадь сферы

В предыдущих уроках мы уже узнали формулу для вычисления площади сферы, однако тогда мы ее не доказывали. Однако теперь мы можем ее доказать, используя формулу объема шара. Но сначала напомним саму формулу:

Впишем сферу в многогранник с n гранями. Ясно, что расстояние от граней этого многогранника до центра сферы равно радиусы сферы R. Далее построим пирамиды, чьи вершины находятся в центре сферы, а основания – это грани многогранника. Заметим, что такие пирамиды будут иметь одинаковые высоты длиной R.

Обозначим площади граней многогранника как S₁, S₂, S₃,…S_n. Тогда объемы пирамид, построенных на этих гранях, вычисляются так:

Заметим, что в сумме эти объемы дают объем всего многогранника, а сумма площадей S₁, S₂, S₃,…S_n – это площадь всей его поверхности. Тогда можно записать:

Теперь начнем неограниченно уменьшать размеры граней многогранника. Тогда число n будет расти, объем многогранника будет приближаться к объему шара, а площадь многогранника – к площади к сфере. Тогда и доказанное равенство можно будет записать так:

Задание. Необходимо изготовить закрытый сосуд с заранее заданным объемом V. Предлагается два варианта формы этого сосуда – шар и куб. Так как поверхность сосуда покрывается очень дорогой краской, то необходимо выбрать вариант с меньшей площадью поверхности. Какую форму для сосуда следует выбрать?

Решение. Обозначим радиус шара как R, а ребро куба как а. Тогда можно записать:

Теперь надо выяснить, какое из полученных значений больше. Для этого поделим площадь куба на площадь сферы. Если получится число, большее единицы, то площадь куба больше:

Получившееся число больше единицы, ведь 6 больше числа π, равного 3,1415926… Значит, и площадь куба больше, а потому необходимо выбрать сосуд, имеющий форму шара.

Ответ: шар.

Примечание. Более сложными математическими методами можно доказать, что если второй сосуд имеет не форму куба, а вообще любую форму, отличную от шара, то всё равно следует выбирать именно сосуд в форме шара. То есть из всех поверхностей, ограничивающих определенный объем, именно сфера имеет наименьшую площадь. Этот факт имеет и физическое следствие – капли дождя и мыльные пузыри стремятся принять форму шара, также как и любые жидкости, находящиеся в невесомости.

Итак, мы научились вычислять объемы таких тел, как конус, пирамида, шар, призма. Также помощью интегрирования можно находить объемы и ещё более сложных тел, если мы можем составить функцию, описывающую площадь их сечения.

Как построить развертку поверхности прямого усеченного конуса

Делим основание конуса на 12 равных частей (вписываем правильную пирамиду). Данные элементы построения уже готовы из чертежа «Сечение конуса плоскостью частного положения».

Строим развертку боковой поверхности конуса, которая представляет собой круговой сектор. Центр его радиуса принимается за вершину конуса, а величина радиуса кругового сектора конуса равна длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. На дугу сектора переносим 12 хорд, которые определят ее длину, а также угол кругового сектора.

К центральной точке дуги сектора боковой развертки усеченного конуса пристраиваем основание конуса. Его основание проецируется в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекции.

На развертке конуса к его основанию пристраиваем натуральную величину сечения.

Две крайние образующие конуса, которые формируют его основной контур, проецируются на фронтальную плоскость проекции в натуральную величину, поэтому их можно сразу переносить на развертку боковой поверхности конуса. Так как часть его срезана фронтально проецирующей плоскостью, то перенесем на развертку конуса только крайнюю правую усеченную образующую. Остальные усеченные образующие конуса проецируются на фронтальную плоскость проекций с искажением. Их натуральную величину находят способом вращения вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций.

Сам принцип нахождения натуральных величин образующих усеченного конуса сводится к тому, что проводят из точек пересечения образующих с плоскостью горизонтальную прямую до крайней правой (левой) образующей и на ней отмеряют натуральные их величины. Все действия проводят на фронтальной плоскости проекции.

На каждой образующей, лежащей на развертке боковой поверхности конуса, откладываем действительные длины усеченных образующих. Полученные точки соединяем плавной кривой линией команда Сплайн в Автокад.

Мы выполнили задачу начертательной геометрии на построение развертки усеченного конуса, но чтобы не возникло проблем во время ее защиты (когда я обучался, каждая курсовая по начертательной геометрии защищалась), еще раз рассмотрим принцип вращения для нахождения натуральной величины усеченной образующей конуса.

«Их натуральную величину находят способом вращения вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций.» Когда мы вращаем образующую прямого конуса до положения параллельного фронтальной плоскости проекции, то ее траектория описывает дугу на горизонтальной плоскости проекции, а на фронтальной прямую!

Вы можете не проводить линии связи с горизонтальной плоскости проекции на фронтальную, ведь очевидно, что точка будет лежать на крайней основной образующей контура конуса для каждой образующей при нахождении ее натуральной величины. Поэтому сам принцип вращения по нахождению натуральной величины образующих конуса сводится к проведению из точек усеченных образующих горизонтальной прямой до основной образующей контура конуса.

В видеоуроке очень наглядно и подробно показан принцип построения развертки прямого усеченного конуса.

Виды крепления

Хвостик рассматриваемого конуса может изготавливаться в нескольких вариациях. Он может быть гладкий, с резьбой или с лапками. Под лапки в рукаве шпинделя предусмотрен специальный паз. Когда они в нем заклинивают, это гарантия того, что конус внутри шпинделя не провернется. А в последующем они помогают выбить его оттуда. Если на креплении выполнена внутренняя резьба, то в шпинделе он фиксируется штоком, который вворачивается в торец конуса. Это также обеспечивает надежное удержание инструмента. А в случае, если он заклинит, его легко вывернуть из гнезда. В отдельных видах конусов предусмотрена целая система канавок и отверстий, через которые во время работы подается смазочная и охлаждающая жидкость.

Конус 7:24

Широко распространённый инструментальный конус, в основном, для станков с ЧПУ с автоматической сменой инструмента. Цель разработки — устранение недостатков конуса Морзе (самозаклинивание конуса в шпинделе, малая площадь осевого упора, большая длина, сложность автоматической фиксации конуса в шпинделе, отсутствие зацепов для автоматической смены инструмента).

Существует ряд национальных и международных стандартов на этот конус, отличающихся базовой размерностью (дюймовая или метрическая), вспомогательными элементами (фланцы, штревели, каналы подачи СОЖ) и обозначениями. Конуса, изготовленные по разным стандартам, не всегда взаимозаменяемы.

• ISO -конусы. Международные стандарты ISO 297:1988 (конструктивная разновидность для ручной смены инструмента), ISO 7388 (конструктивные разновидности для автоматизированной смены инструмента).
• Новые российские стандарты: ГОСТ 25827-2014 — конструкции конусов, фланцев и резьб хвостовиков. Парный к нему ГОСТ ИСО 7388-3-2014 — конструкции штревелей. Практически дубликат ISO 297 и ISO 7388.
• Все еще могут быть актуальны советские и старые российские стандарты: ГОСТ 15945-82 — основные размеры конусов и парный к нему ГОСТ 19860-93 — допуски.
• ГОСТ 25827-93 — конструкции конусов, фланцев и хвостовиков.

DV ,SK (от нем. Steilkegel). Немецкий вариант конуса. Стандарты DIN 2080, DIN 69871.

NMTB (от англ. National Machine Tool Builders Association),NST ,NT . Американский вариант конуса. Стандарт ANSI B5.18. Дюймовая размерность, конструктивно аналог ISO 297.

CAT ,CV (от англ. Caterpillar V-Flange). Американский вариант конуса. Стандарт ANSI B5.50. Дюймовая размерность, конструктивно аналог ISO 7388 вариант A.

BT — японская разновидность конуса согласно стандарта JIS B6339 (JMTBA MAS-403 «BT»). Дюймовая размерность, конструктивно аналог ISO 7388 вариант J.

NFE 62540 — французский стандарт.

IS 2340 ,IS 11173 — индийские стандарты. Первый аналог ISO 297, второй ISO 7388.

Типоразмер конуса обозначается цифрой, существуют размеры от 10-го до 80-го с шагом 5. Например, ISO10, NMTB40, BT50. Для всех стандартов размер конусной части одинаков. Угол конуса 16°35’40″. В таблице размеров конусов D

обозначает базовый размер — наибольший диаметр конусного отверстия (гнезда),L обозначает глубину конусного отверстия. Эти значения также примерно соответствуют наибольшему диаметру конуса и его длине. Диаметр фланцаDF примерно одинаков у всех конструктивных разновидностей. Конус с фланцем для автоматической смены инструмента

Конус	D	L	Резьба	DF
10	15,87	21,8
15	19,05	26,9
25	25,40	39,8
30	31,75	49,2	M12	50
35	38,10	57,2
40	44,45	65,6	M16	63
45	57,15	84,8	M20	80
50	69,85	103,7	M24	97
55	88,90	132,0	M24	130
60	107,95	163,7	M30	156
65	133,35	200,0	M36	195
70	165,10	247,5	M36	230
75	203,20	305,8	M40	280
80	254,00	390,8	M40	350

Стандарты ISO и новый российский ГОСТ определяют несколько конструктивных разновидностей: одну для ручной смены инструмента и три разновидности для автоматической смены инструмента, обозначаемые буквами A

,U ,J . Каждой конструктивной разновидности соответствует свой фланец и штревель. Помимо того, стандарты регламентируют два метода подвода охлаждающей жидкости к инструменту: центральный через штревель (обозначается буквойD ) или боковой через фланец (буквойF ).

Старый ГОСТ 25827-93 определял три исполнения конусов. Исполнение 1 было аналогично ISO 297. Исполнение 2 было аналогично ISO 7388 вариант A. Исполнение 3 аналогов не имело. Стандарт не определял конструкций штревелей, только фланцев и резьб хвостовиков.

В настоящее время конуса обычно изготавливают со сменными штревелями, что улучшает совместимость оборудования разных стандартов.

Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и направляющую

Пусть дан конус с радиусом R и образующей LAS=L, AO=RРазрежем конус по образующей L и развернем его боковую поверхность.В результате получим криволинейный треугольник ASA` , где AS=L, A`S=L.Дуга AA` -это вытянутая окружность основания конуса с радиусом R. Следовательно, длина дуги AA` будет равна 2πRПлощадь боковой поверхности будет равна площади сектора круга с радиусом R.Если угол α – радиальная мера угла, то: где α=∠{ASA`}Чтобы найти угол ∠{ASA`} воспользуемся формулой длины дуги, которая стягивает данный угол: Но с другой стороны: Приравняем правые части равенств. Имеем: Выразим α: Подставим полученное выражение в формулу площади сектора: Следовательно, боковая поверхность конуса равна произведению числа π на радиус конуса и его образующую.Формула боковой поверхности конуса будет иметь следующий вид:

Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и направляющаяНайти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 3 см, образованным направляющей равной 7 смПо условию задачи L = 5см, R=3смФормула боковой поверхности конуса:Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:

Презентация на тему: » Конус Понятие конуса Понятие конуса Площадь поверхности конуса Площадь поверхности конуса Усечённый конус Усечённый конус.» — Транскрипт:

1

Конус Понятие конуса Понятие конуса Площадь поверхности конуса Площадь поверхности конуса Усечённый конус Усечённый конус

2

Понятие конуса Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой поверхности. Через точку Р и каждую точку окружности проведём прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности. L О Р

3

Точка Р называется вершиной, а прямая ОР – осью конической поверхности. Понятие конуса L О Р вершина ось конической поверхности

4

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Конус О L

5

Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности – вершиной конуса, отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса. Конус О L

6

Конус О L Р ось конуса вершина конуса образующие конуса боковая поверхность конуса основание конуса

7

Ось конической поверхности называется осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием, — высотой конуса.Конус О L Р ось конуса высота конуса

8

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Получение конуса

9

Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Это сечение называется осевым. Сечение конуса О Р

10

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О 1, расположенным на оси конуса. Радиус r 1 этого круга равен, где r – радиус основания конуса. Сечение конуса Р О М r О1О1 М1М1 r1r1

11

Проводя различные сечения одного и того же кругового конуса, причём любого, можно получить эллипс, параболу и гиперболу. При надлежащем наклоне секущей плоскости удаётся получить все типы конических сечений. Если считать, что конус не заканчивается в вершине, а простирается за неё, тогда у некоторых сечений образуются две ветви. Сечение конуса

12

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Площадь боковой поверхности конуса Развёртка боковой поверхности конуса: А В Р А L А В Р L r

13

Выразим через L и r. Так как длина дуги АВА равна, то, откуда Площадь боковой поверхности конуса А В Р А L Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

14

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Площадь полной поверхности конуса А В Р L r S кон = r 2 + rL S кон = r(r + L)

15

Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей (верхняя) представляет собой конус, а другая называется усечённым конусом. Усечённый конус Р О О1О1 конус усечённый конус

16

Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса, а отрезок, соединяющий их центры, — высотой усечённого конуса. Усечённый конус О1О1 r1r1 r О основание высота

17

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Усечённый конус О1О1 r1r1 r О боковая поверхность образующие

18

Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. Получение усечённого конуса A B C D Усечённый конус получен вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD.

19

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую: где r и r 1 – радиусы оснований, L – образующая усечённого конуса. Площадь боковой поверхности усечённого конуса О1О1 r1r1 r О L

Особенности построения уклона и конусности

Область черчения развивалась на протяжении достаточно длительного периода. Она уже много столетий назад применялась для передачи накопленных знаний и навыков. Сегодня изготовление всех изделия может проводится исключительно при применении чертежей. При этом ему больше всего внимания уделяется при наладке массового производства. За длительный период развития черчения были разработаны стандарты, которые позволяют существенно повысить степень читаемости всей информации. Примером можно назвать ГОСТ 8593-81. Он во многом характеризует конусность и уклон, применяемые методы для их отображения. Начертательная геометрия применяется для изучения современной науки, а также создания различной техники. Кроме этого, были разработаны самые различные таблицы соответствия, которые могут применяться при проведении непосредственных расчетов.

Различные понятия, к примеру, сопряжение, уклон и конусность отображаются определенным образом. При этом учитывается область применения разрабатываемой технической документации и многие другие моменты.

К особенностям построения угла и конусности можно отнести следующие моменты:

1. Основные линии отображаются более жирным начертанием, за исключением случая, когда на поверхности находится резьба.
2. При проведении работы могут применяться самые различные инструменты. Все зависит от того, какой метод построения применяется в конкретном случае. Примером можно назвать прямоугольный треугольник, при помощи которого выдерживается прямой угол или транспортир.
3. Отображение основных размеров проводится в зависимости от особенностей чертежа. Чаще всего указывается базовая величина, с помощью которой определяются другие. На сегодняшний день метод прямого определения размеров, когда приходится с учетом масштаба измерять линии и углы при помощи соответствующих инструментов практически не применяется. Это связано с трудностями, которые возникают на производственной линии.

Обозначение конусности на чертеже

При создании технической документации должны учитываться все установленные стандарты, так как в противном случае она не может быть использована в дальнейшем

Рассматривая обозначение конусности на чертежах следует уделить внимание следующим моментам:

1. Отображается диаметр большого основания. Рассматриваемая фигура образуется телом вращения, которому свойственен диаметральный показатель. В случае конуса их может быть несколько, а изменение показателя происходит плавно, не ступенчато. Как правило, у подобной фигуры есть больший диаметр, а также промежуточной в случае наличия ступени.
2. Наносится диаметр меньшего основания. Меньшее основание отвечает за образование требуемого угла.
3. Рассчитывается длина конуса. Расстояние между меньшим и большим основанием является показателем длины.
4. На основании построенного изображения определяется угол. Как правило, для этого проводятся соответствующие расчеты. В случае определения размера по нанесенному изображению при применении специального измерительного прибора существенно снижается точность. Второй метод применяется в случае создания чертежа для производства неответственных деталей.

Простейшее обозначение конусности предусматривает также отображения дополнительных размеров, к примеру, справочную. В некоторых случаях применяется знак конусности, который позволяет сразу понят о разности диаметров.

Выделяют достаточно большое количество различных стандартов, которые касаются обозначения конусности. К особенностям отнесем следующее:

1. Угол может указываться в градусах дробью или в процентах. Выбор проводится в зависимости от области применения чертежа. Примером можно назвать то, что в машиностроительной области указывается значение градуса.
2. В машиностроительной области в особую группу выделяют понятие нормальной конусности. Она варьирует в определенном диапазоне, может составлять 30, 45, 60, 75, 90, 120°. Подобные показатели свойственны большинству изделий, которые применяются при сборке различных механизмов. При этом выдержать подобные значения намного проще при применении токарного оборудования. Однако, при необходимости могут выдерживаться и неточные углы, все зависит от конкретного случая.
3. При начертании основных размеров применяется чертежный шрифт. Он характеризуется довольно большим количеством особенностей, которые должны учитываться. Для правильного отображения используется табличная информация.
4. Для начала указывается значок конусности от которого отводится стрелка и отображается величина. Особенности отображения во многом зависит от того, какой чертеж. В некоторых случаях наносится большое количество различных размеров, что существенно усложняет нанесение конусности. Именно поэтому предусмотрена возможность использования нескольких различных методов отображения подобной информации.

На чертеже рассматриваемый показатель обозначается в виде треугольника. При этом требуется цифровое значение, которое может рассчитываться при применении различных формул.

Высокоточная обработка конических поверхностей

Тела вращения из металлов используют в медицинских целях. Зубные импланты конической формы с микрорезьбой повышают остеоинтегрируемую поверхность на 30%, стабилизируя процессы фиксации.

Пескоструйная шлифовка и кислотная обработка титана (Ti – 99.84%) структурируют материал до капиллярного состояния.

Выбор конической конфигурации соединения:

• улучшает контроль крутящего момента;
• равномерно распределяет нагрузки;
• обеспечивает герметизацию без реабсорбции – расстояние между нитями резьбы менее 1 микрон, преграждает попадание микроорганизмов
• упрощает инсталляцию угловых абатментов за счет фрикционных сопротивлений – снижает риски осложнений, в частности микросдвигов, мукозитов;
• продлевает срок службы имплантата.

Детали высшего класса точности изготавливаются на технологичных станках с ЧПУ, ПО управления для которых используется для моделирования изделий и процессов их формования на каждом из этапов.

Больше о способах обработки конических поверхностей можно узнать на ежегодной выставке «Металлообработка».

Обработка конических поверхностейОбработка конических поверхностей на токарных станкахОбработка цилиндрических поверхностей

Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и направляющую

Пусть дан конус с радиусом R и образующей LAS=L, AO=R
Разрежем конус по образующей L и развернем его боковую поверхность.
В результате получим криволинейный треугольник ASA` , где AS=L, A`S=L.
Дуга AA` -это вытянутая окружность основания конуса с радиусом R. Следовательно, длина дуги AA` будет равна 2πR
Площадь боковой поверхности будет равна площади сектора круга с радиусом R.
Если угол α – радиальная мера угла, то:
где α=∠{ASA`}
Чтобы найти угол ∠{ASA`} воспользуемся формулой длины дуги, которая стягивает данный угол:
Но с другой стороны:
Приравняем правые части равенств. Имеем:
Выразим α:
Подставим полученное выражение в формулу площади сектора:
Следовательно, боковая поверхность конуса равна произведению числа π на радиус конуса и его образующую.
Формула боковой поверхности конуса будет иметь следующий вид:

Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и направляющая
Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 3 см, образованным направляющей равной 7 см
По условию задачи L = 5см, R=3см
Формула боковой поверхности конуса:
Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:

Объем пирамиды

Для начала рассмотрим треугольную пирамиду. Вершину пирамиды примем за начало координат точку О, а ось Ох проведем перпендикулярно основанию, причем ось будет направлена от вершины пирамиды к основанию.

Пусть ось Ох пересечет основание АВС в точке М. Тогда ОМ – это высота, чью длину мы обозначим как h.

Далее построим сечение А₁В₁С₁, параллельное АВС. Это сечение пересечется с ОМ в точке ОМ₁. Тогда ОМ₁ – это координата х, характеризующая расположение сечения А₁В₁С₁.

Осталось составить выражение для площади ∆А₁В₁С₁. Так как АВ||A₁B₁, то ∠АВО и ∠А₁В₁О одинаковы как соответственные углы. Тогда у ∆АВО и ∆А₁В₁О есть два равных угла (ведь ∠АОВ у них общий), а потому эти треугольники подобны по первому признаку подобия. Это означает, что

Надо как-то найти значение коэффициента k, который, очевидно, как-то зависит от переменной х. Рассмотрим теперь ∆ОМВ и ∆ОМ₁В₁. Они прямоугольные, ведь ОМ перпендикулярен плоскостям этих треугольников. Также у них есть общий угол ∠ОВМ. Значит, они подобны, и поэтому

Итак, если пирамида имеет высоту h и площадь основания S, то объем пирамиды равен:

Выведенная нами формула справедлива для треугольной пирамиды. Однако если в основании пирамиды лежит произвольный многоугольник, то, разбив этот многоугольник на треугольники, мы разобьем и пирамиду на несколько треугольных пирамид. У них будет общая высота h и площади оснований S₁, S₂, S₃…, которые в сумме составляют площадь многоугольника S.

Объем треугольных пирамид рассчитывается по выведенной нами формуле:

Задание. В основании пирамиды высотой 15 лежит квадрат со стороной 4. Вычислите ее объем.

Решение. Сначала находим площадь основания. Для этого надо сторону квадрата умножить саму на себя:

Задание. В кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ отмечены точки Е и F – середины ребер ВС и CD соответственно. Во сколько раз объем пирамиды С₁EFC меньше объема куба?

Решение. Обозначим длину ребра куба буквой а. Тогда его объем рассчитывается так:

Задание. Отрезок MN перпендикулярен плоскости пятиугольника АВСDE. Точка K, принадлежащая этой плоскости, делит отрезок MN в отношении 2:1. Во сколько раз объем пирамиды MABCDE больше объема пирамиды NABCDE?

Решение. Запишем формулы для объемов этих пирамид. При этом учтем, что MK – высота для MABCDE, а NK – это высота для NABCDE.

Далее рассмотрим такую фигуру, как усеченная пирамида. Ясно, что ее объем можно вычислить, если из объема исходной пирамиды вычесть объем отсеченной верхушки.

Снова рассмотрим пирамиду ОАВС, через которую проведено сечение А₁В₁С₁, параллельное основанию.

Обозначим площадь нижнего основания пирамиды как S₂, а площадь верхнего основания – как S₁. Далее высоту усеченной пирамиды (отрезок ММ₁) обозначим как h. Мы уже выяснили ранее, что основания АВС и А₁В₁С₁ – это подобные треугольники, причем коэффициент их подобия k равен отношению высот ОМ и ОМ₁. Тогда можно записать:

Далее используем основное свойство пропорции:

Далее числитель дроби мы раскладываем на множители, используя формулу разности кубов:

Задание. Основаниями усеченной пирамиды являются квадраты со сторонами 9 см и 5 см, а высота пирамиды составляет 6 см. Найдите ее объем.

Сначала вычислим площади оснований: