Конусы. усеченные конусы. объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

Элементы конуса

Определение. Вершина конуса

– это точка (K), из которой исходят лучи.

Определение. Основание конуса

– это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.

Определение. Образующей конуса

(L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.

Формула. Длина образующей

(L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора): L2 = R2 + H2

Определение. Направляющая

конуса – это кривая, которая описывает контур основания конуса.

Определение. Боковая поверхность

конуса – это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.

Определение. Поверхность

конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.

Определение. Высота

конуса (H) – это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.

Определение. Ось

конуса (a) – это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.

Определение. Конусность (С)

конуса – это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса – это отношение разности диаметров поперечных сечений D и d усеченного конуса к расстоянию между ними:

C =	D	и C =	D – d
H	h

где C – конусность, D – диаметр основания, d – диаметр меньшего основания и h – расстояние между основаниями. Конусность характеризует остроту конуса, то есть, угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее угол наклона. угол конуса α будет:

α = 2arctg	R
H

где R – радиус основы, а H – высота конуса.

Определение. Осевое сечение

конуса – это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника – это диаметр основания конуса.

Определение. Касательная плоскость

к конусу – это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.

Определение. Конус, что опирается на круг, эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно круговым, эллиптическим, гиперболическим

илипараболическим конусом (последние два имеют бесконечный объем).

Определение. Прямой

конус – это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой.

Формула. Объём кругового конуса

V =	1	πHR2
3

где R – радиус основы, а H – высота конуса. Формула. Площадь боковой поверхности

(Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L: Sb = πRL

Формула. Общая площадь поверхности

(Sp) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L: Sp = πRL + πR2

Определение. Косой (наклонный)

конус – это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой.

Формула. Объём любого конуса

V =	1	SH
3

где S – площадь основы, а H – высота конуса.

Определение. Усеченный

конус – это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе.

Формула. Объём усеченного конуса

V =	1	(S2H – S1h)
3

где S1 и S2 – площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h – расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.

Усеченный геометрический объект

Усеченная фигура представляет собой объект в пространстве, который состоит из двух оснований разной площади и конической боковой поверхности. В отличие от исходного конуса, его усеченный вариант не имеет вершины. Остальные линейные элементы для него такие же, как для конуса с вершиной. У усеченной фигуры также имеется две директрисы, ограничивающие каждое из оснований, и одна генератриса, которая опирается на линии направляющих кривых.

Рассматриваемый геометрический объект также бывает нескольких видов (эллиптический, наклонный). Чаще всего в задачах по геометрии встречается именно круглый прямой усеченный конус, который ограничен двумя круглыми основаниями.

Способы построения

Можно выделить два основных способа построения усеченного круглого геометрического объекта:

• из круглого прямого конуса;
• с помощью трапеции.

В первом случае необходимо взять коническую фигуру и режущую плоскость, которая будет параллельна основанию. После этого с помощью плоскости следует отсечь верхнюю часть конуса. Оставшаяся под плоскостью фигура будет усеченной

Следует отметить, что совершенно неважно, какая часть конуса с вершиной будет отсечена. Чем больше она будет, тем ближе окажутся друг к другу значения верхнего и нижнего радиусов в усеченной фигуре, то есть тем ближе она по форме будет походить на прямой цилиндр.

Если прямоугольную трапецию поставить на большее основание и вращать ее вокруг перпендикуляра h, то получится усеченный конус. В нем отрезки a и b будут радиусами оснований объемной фигуры, перпендикуляр h станет высотой, а наклонный отрезок g будет представлять собой длину образующей. Эти четыре линейных характеристики определяют рассматриваемую объемную фигуру. Следует заметить, что для однозначного построения фигуры достаточно лишь трех любых из них, например, высоты и двух радиусов.

Площадь поверхности

Поверхность усеченной фигуры, в отличие от полного конуса, образована тремя частями: два круглых основания и боковая поверхность. Площади круглых оснований вычисляются по известной формуле для круга: pi*r2. Для боковой поверхности следует выполнить следующие действия:

Разрезать ее вдоль образующей и развернуть на плоскости.
Обратить внимание, что полученная фигура представляет собой сектор круга, у которого в верхней его части вырезан другой маленький сектор.
Достроить мысленно усеченную фигуру до полного конуса и определить его высоту H и директрису G. Через соответствующие параметры усеченного конуса они будут выражаться следующим образом: G = r1*g/(r1-r2), H = h*r1/(r1-r2), здесь радиусы оснований r1 и r2 такие, что r1>r2.
Рассчитать площади большого и маленького круговых секторов, а затем вычесть из первой вторую

В итоге получится следующая простая формула: Sb = pi*g*(r1 + r2).

Площадь всей поверхности рассматриваемой фигуры вычисляется как сумма трех величин S1, S2 и Sb:

S = S1 + S2 + Sb = pi*r12 + pi*r22 + pi*g*(r1 + r2).

Для определения величины S необходимо знать три линейных параметра усеченного конуса: радиусы оснований и длину генератрисы.

Формула объема

Для определения объема следует воспользоваться приемами, подобными тем, которые описаны в методике определения площади поверхности. Для начала следует усеченный конус достроить до полного, затем вычислить объемы фигур с высотами H и H-h по уже известной формуле. Разница этих объемов даст искомую формулу для усеченной фигуры с круглыми основаниями:

V = 1/3*pi*r12*H — 1/3*pi*r22*(H-h).

Подставляя в это выражение равенство для высоты H через линейные характеристики усеченной фигуры, можно получить конечную формулу:

V = 1/3*pi*h*(r12 + r22 + r1*r2).

Это выражение можно переписать не через линейные параметры, а через площади оснований фигуры S1 и S2:

V = 1/3*h*(S1 + S2 + (S1*S2)^0,5).

Записанная формула объема может быть получена универсальным способом без привлечения известного выражения для полного конуса. Для этого необходимо использовать интегральное исчисление, разбивая при этом усеченный геометрический объект на бесконечное количество тонких круглых дисков. Их радиусы будут постепенно уменьшаться от r1 до r2. Этот метод вывода формулы для объема не отличается от аналогичного для полного круглого конуса, изменяются лишь пределы интегрирования.

Усеченный конус, его элементы и осевое сечение

Рис. 2. Гео­мет­ри­че­ские фи­гу­ры

Мы видим, что все эти фи­гу­ры по­хо­жей формы – и снизу, и свер­ху они огра­ни­че­ны кру­га­ми, но они сужа­ют­ся квер­ху (см. рис. 2).

Рис. 3. От­се­че­ние верх­ней части ко­ну­са

Это по­хо­же на конус. Толь­ко не хва­та­ет вер­хуш­ки. Мыс­лен­но пред­ста­вим, что мы берем конус и от­се­ка­ем от него верх­нюю часть одним взма­хом остро­го меча (см. рис. 3).

Рис. 4. Усе­чен­ный конус

По­лу­ча­ет­ся как раз наша фи­гу­ра, на­зы­ва­ет­ся она усе­чен­ный конус (см. рис. 4).

Рис. 5. Се­че­ние, па­рал­лель­ное ос­но­ва­нию ко­ну­са

Пусть дан конус. Про­ве­дем плос­кость, па­рал­лель­ную плос­ко­сти ос­но­ва­ния этого ко­ну­са и пе­ре­се­ка­ю­щую конус (см. рис. 5).

Она разо­бьет конус на два тела: одно из них – конус мень­ше­го раз­ме­ра, а вто­рое и на­зы­ва­ет­ся усе­чен­ным ко­ну­сом (см. рис. 6).

Рис. 6. По­лу­чен­ные тела при па­рал­лель­ном се­че­нии

Таким об­ра­зом, усе­чен­ный конус – это часть ко­ну­са, за­клю­чен­ная между его ос­но­ва­ни­ем и па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию плос­ко­стью. Как и в слу­чае с ко­ну­сом, усе­чен­ный конус может иметь в ос­но­ва­нии круг – в этом слу­чае его на­зы­ва­ют кру­го­вым. Если ис­ход­ный конус был пря­мым, то и усе­чен­ный конус на­зы­ва­ют пря­мым. Как и в слу­чае с ко­ну­са­ми, мы будем рас­смат­ри­вать ис­клю­чи­тель­но пря­мые кру­го­вые усе­чен­ные ко­ну­сы, если спе­ци­аль­но не ука­за­но, что речь идет о непря­мом усе­чен­ном ко­ну­се или в его ос­но­ва­ни­ях не круги.

Рис. 7. Вра­ще­ние пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции

Наша гло­баль­ная тема – тела вра­ще­ния. Усе­чен­ный конус – не ис­клю­че­ние! Вспом­ним, что для по­лу­че­ния ко­ну­са мы рас­смат­ри­ва­ли пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник и вра­ща­ли его во­круг ка­те­та? Если по­лу­чен­ный конус пе­ре­сечь плос­ко­стью, па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию, то от тре­уголь­ни­ка оста­нет­ся пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Ее вра­ще­ние во­круг мень­шей бо­ко­вой сто­ро­ны и даст нам усе­чен­ный конус. За­ме­тим снова, что речь, ра­зу­ме­ет­ся, идет толь­ко о пря­мом кру­го­вом ко­ну­се (см. рис. 7).

Рис. 8. Ос­но­ва­ния усе­чен­но­го ко­ну­са

Сде­ла­ем несколь­ко за­ме­ча­ний. Ос­но­ва­ние пол­но­го ко­ну­са и круг, по­лу­ча­ю­щий­ся в се­че­нии ко­ну­са плос­ко­стью, на­зы­ва­ют ос­но­ва­ни­я­ми усе­чен­но­го ко­ну­са (ниж­ним и верх­ним) (см. рис. 8).

Рис. 9. Об­ра­зу­ю­щие усе­чен­но­го ко­ну­са

От­рез­ки об­ра­зу­ю­щих пол­но­го ко­ну­са, за­клю­чен­ные между ос­но­ва­ни­я­ми усе­чен­но­го ко­ну­са, на­зы­ва­ют об­ра­зу­ю­щи­ми усе­чен­но­го ко­ну­са. Так как все об­ра­зу­ю­щие ис­ход­но­го ко­ну­са равны и все об­ра­зу­ю­щие от­се­чен­но­го ко­ну­са равны, то и об­ра­зу­ю­щие усе­чен­но­го ко­ну­са равны (не пу­тать от­се­чен­ный и усе­чен­ный!). От­сю­да и сле­ду­ет рав­но­бед­рен­ность тра­пе­ции осе­во­го се­че­ния (см. рис. 9).

От­ре­зок оси вра­ще­ния, за­клю­чен­ный внут­ри усе­чен­но­го ко­ну­са, на­зы­ва­ют осью усе­чен­но­го ко­ну­са. Этот от­ре­зок, ра­зу­ме­ет­ся, со­еди­ня­ет цен­тры его ос­но­ва­ний (см. рис. 10).

Рис. 10. Ось усе­чен­но­го ко­ну­са

Вы­со­та усе­чен­но­го ко­ну­са – это пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный из точки од­но­го из ос­но­ва­ний к дру­го­му ос­но­ва­нию. Чаще всего, в ка­че­стве вы­со­ты усе­чен­но­го ко­ну­са рас­смат­ри­ва­ют его ось.

Рис. 11. Осе­вое се­че­ние усе­чен­но­го ко­ну­са

Осе­вое се­че­ние усе­чен­но­го ко­ну­са – это се­че­ние, про­хо­дя­щее через его ось. Оно имеет вид тра­пе­ции, чуть позже мы до­ка­жем ее рав­но­бед­рен­ность (см. рис. 11).

Обозначение конусности на чертеже

При создании технической документации должны учитываться все установленные стандарты, так как в противном случае она не может быть использована в дальнейшем

Рассматривая обозначение конусности на чертежах следует уделить внимание следующим моментам:

1. Отображается диаметр большого основания. Рассматриваемая фигура образуется телом вращения, которому свойственен диаметральный показатель. В случае конуса их может быть несколько, а изменение показателя происходит плавно, не ступенчато. Как правило, у подобной фигуры есть больший диаметр, а также промежуточной в случае наличия ступени.
2. Наносится диаметр меньшего основания. Меньшее основание отвечает за образование требуемого угла.
3. Рассчитывается длина конуса. Расстояние между меньшим и большим основанием является показателем длины.
4. На основании построенного изображения определяется угол. Как правило, для этого проводятся соответствующие расчеты. В случае определения размера по нанесенному изображению при применении специального измерительного прибора существенно снижается точность. Второй метод применяется в случае создания чертежа для производства неответственных деталей.

Простейшее обозначение конусности предусматривает также отображения дополнительных размеров, к примеру, справочную. В некоторых случаях применяется знак конусности, который позволяет сразу понят о разности диаметров.

Выделяют достаточно большое количество различных стандартов, которые касаются обозначения конусности. К особенностям отнесем следующее:

1. Угол может указываться в градусах дробью или в процентах. Выбор проводится в зависимости от области применения чертежа. Примером можно назвать то, что в машиностроительной области указывается значение градуса.
2. В машиностроительной области в особую группу выделяют понятие нормальной конусности. Она варьирует в определенном диапазоне, может составлять 30, 45, 60, 75, 90, 120°. Подобные показатели свойственны большинству изделий, которые применяются при сборке различных механизмов. При этом выдержать подобные значения намного проще при применении токарного оборудования. Однако, при необходимости могут выдерживаться и неточные углы, все зависит от конкретного случая.
3. При начертании основных размеров применяется чертежный шрифт. Он характеризуется довольно большим количеством особенностей, которые должны учитываться. Для правильного отображения используется табличная информация.
4. Для начала указывается значок конусности от которого отводится стрелка и отображается величина. Особенности отображения во многом зависит от того, какой чертеж. В некоторых случаях наносится большое количество различных размеров, что существенно усложняет нанесение конусности. Именно поэтому предусмотрена возможность использования нескольких различных методов отображения подобной информации.

На чертеже рассматриваемый показатель обозначается в виде треугольника. При этом требуется цифровое значение, которое может рассчитываться при применении различных формул.

Как сделать конус из железа. Расчет развертки усеченного конуса из листового металла

Иногда возникает задачка – сделать защитный зонтик для вытяжной либо печной трубы, вытяжной дефлектор для вентиляции и т.п. Но до этого чем приступить к изготовлению, нужно сделать выкройку (или развертку) для материала. В вебе есть всякие программы для расчета таковых разверток. Но задачка так просто решается, что вы скорее рассчитаете ее с помощью калькулятора (в компьютере), чем будете находить, закачивать и разбираться с этими программами. Начнем с обычного варианта — развертка обычного конуса. Проще всего разъяснить принцип расчета выкройки на примере.

Допустим, нам нужно сделать конус поперечником D см и высотой H см. Совсем понятно, что в качестве заготовки будет выступать круг с вырезанным сектором. Известны два параметра – поперечник и высота. По аксиоме Пифагора рассчитаем поперечник круга заготовки (не путайте с радиусом готового

конуса). Половина поперечника (радиус) и высота образуют прямоугольный треугольник. Поэтому:

Итак, сейчас мы знаем радиус заготовки и можем вырезать круг.

Вычислим угол сектора, который нужно вырезать из круга. Рассуждаем последующим образом: Поперечник заготовки равен 2R, означает, длина окружности равна Пи*2*R — т.е. 6.28*R. Обозначим ее L. Окружность полная, т.е. 360 градусов. А длина окружности готового конуса равна Пи*D. Обозначим ее Lm. Она, естественно, меньше чем длина окружности заготовки. Нам необходимо вырезать сектор с длиной дуги равной разности этих длин. Применим правило соотношения. Ежели 360 градусов дают нам полную окружность заготовки, то разыскиваемый угол должен отдать длину окружности готового конуса.

Из формулы соотношения получаем размер угла X. А вырезаемый сектор находим методом вычитания 360 – Х.

Из круглой заготовки с радиусом R нужно вырезать сектор с углом (360-Х). Не забудьте бросить маленькую полоску материала для нахлеста (если крепление конуса будет внахлест). Опосля соединения сторон вырезанного сектора получим конус данного размера.

Например: Нам нужен конус для зонтика вытяжной трубы высотой (Н) 100 мм и поперечником (D) 250 мм. По формуле Пифагора получаем радиус заготовки – 160 мм. А длина окружности заготовки соответственно 160 x 6,28 = 1005 мм. В тоже время длина окружности подходящего нам конуса — 250 x 3,14 = 785 мм.

Тогда получаем, что соотношение углов будет такое: 785 / 1005 x 360 = 281 градус. Соответственно вырезать нужно сектор 360 – 281 = 79 градусов.

Расчет заготовки выкройки для усеченного конуса

Такая деталь бывает нужна при изготовлении переходников с 1-го поперечника на иной либо для дефлекторов Вольперта-Григоровича либо Ханженкова. Их используют для улучшения тяги в печной трубе либо трубе вентиляции.

Задача мало осложняется тем, что нам неизвестна высота всего конуса, а лишь его усеченной части. Вообщем же начальных цифр здесь три: высота усеченного конуса Н, поперечник нижнего отверстия (основания) D, и поперечник верхнего отверстия Dm (в месте сечения полного конуса). Но мы прибегнем к тем же обычным математическим построениям на базе аксиомы Пифагора и подобия.

В самом деле, разумеется, что величина (D-Dm)/2 (половина разности диаметров) будет относиться с высотой усеченного конуса Н так же, как и радиус основания к высоте всего конуса, как ежели бы он не был усечен. Находим полную высоту (P) из этого соотношения.

Отсюда Р = D x H / (D-Dm).

Теперь зная общую высоту конуса, мы можем свести решение задачки к предшествующей. Рассчитать развертку заготовки как бы для полного конуса, а потом «вычесть» из нее развертку его верхней, ненадобной нам части. А можем рассчитать конкретно радиусы заготовки.

Получим по аксиоме Пифагора больший радиус заготовки — Rz. Это квадратный корень из суммы квадратов высоты P и D/2.

Шаровой сегмент

Когда плоскость проходит через шар, она рассекает его на две фигуры, которые именуются шаровым сегментом. Если из центра шара О провести радиус ОА длиной R в направлении плоскости сечения, который перпендикулярен этой плоскости, то он пересечет ее какой-то точке В. Длину отрезка АВ называют высотой шарового сегмента и обозначают буквой h:

Ясно, что при этом отрезок ОВ – это расстояние от секущей плоскости (или от основания сегмента) до центра шара, причем этот отрезок имеет длину R –h.

Можно считать, что шаровой сегмент, как и шар, получается при вращении дуги окружности вокруг оси Ох. Однако если сам шар при этом ограничен плоскостями x = R и х = – R, то сегмент ограничен другими плоскостями: х = R и х = R – h. Это значит, что его объем можно вычислить с помощью интеграла также, как и объем шара, отличаться будет лишь нижний предел интегрирования:

Заметим, что шар можно рассматривать как шаровой сегмент, чья высота вдвое больше его радиуса. И действительно, если в выведенную формулу мы подставим значение h = 2R, то получим уже известную нам формулу объема шара.

Задание. Найдите объем шарового сегмента высотой 6, если он отсечен от шара радиусом 15.

Решение. Используем выведенную формулу:

Задание. Диаметр шара разделили на три равных отрезка. Через концы этих отрезков провели секущие плоскости, перпендикулярные диаметру. Чему равен объем тела, заключенного между этими двумя плоскостями (оно называется шаровым слоем), если радиус шара обозначен буквой R?

Решение. Ясно, что для вычисления объема шарового слоя достаточно вычесть из объема шара объемы двух шаровых сегментов, образующихся при проведении секущих плоскостей. Так как они разделили диаметр на три одинаковых отрезка, то высота этих сегментов будет в три раза меньше диаметра шара:

Презентация на тему: » Конус Понятие конуса Понятие конуса Площадь поверхности конуса Площадь поверхности конуса Усечённый конус Усечённый конус.» — Транскрипт:

1

Конус Понятие конуса Понятие конуса Площадь поверхности конуса Площадь поверхности конуса Усечённый конус Усечённый конус

2

Понятие конуса Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой поверхности. Через точку Р и каждую точку окружности проведём прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности. L О Р

3

Точка Р называется вершиной, а прямая ОР – осью конической поверхности. Понятие конуса L О Р вершина ось конической поверхности

4

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Конус О L

5

Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности – вершиной конуса, отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса. Конус О L

6

Конус О L Р ось конуса вершина конуса образующие конуса боковая поверхность конуса основание конуса

7

Ось конической поверхности называется осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием, — высотой конуса.Конус О L Р ось конуса высота конуса

8

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Получение конуса

9

Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Это сечение называется осевым. Сечение конуса О Р

10

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О 1, расположенным на оси конуса. Радиус r 1 этого круга равен, где r – радиус основания конуса. Сечение конуса Р О М r О1О1 М1М1 r1r1

11

Проводя различные сечения одного и того же кругового конуса, причём любого, можно получить эллипс, параболу и гиперболу. При надлежащем наклоне секущей плоскости удаётся получить все типы конических сечений. Если считать, что конус не заканчивается в вершине, а простирается за неё, тогда у некоторых сечений образуются две ветви. Сечение конуса

12

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Площадь боковой поверхности конуса Развёртка боковой поверхности конуса: А В Р А L А В Р L r

13

Выразим через L и r. Так как длина дуги АВА равна, то, откуда Площадь боковой поверхности конуса А В Р А L Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

14

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Площадь полной поверхности конуса А В Р L r S кон = r 2 + rL S кон = r(r + L)

15

Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей (верхняя) представляет собой конус, а другая называется усечённым конусом. Усечённый конус Р О О1О1 конус усечённый конус

16

Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса, а отрезок, соединяющий их центры, — высотой усечённого конуса. Усечённый конус О1О1 r1r1 r О основание высота

17

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Усечённый конус О1О1 r1r1 r О боковая поверхность образующие

18

Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. Получение усечённого конуса A B C D Усечённый конус получен вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD.

19

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую: где r и r 1 – радиусы оснований, L – образующая усечённого конуса. Площадь боковой поверхности усечённого конуса О1О1 r1r1 r О L